User:Camilo Acosta

LIMITES

Esta pagina fue creada en un segundo intento mio de pasar calculo diferencial estudiando ingenieria de sistemas en la universidad javeriana de colombia

el objetivo aunque absurdo era de colocar lo que se pudiera en ejercicios en un pagina asi este ayudaba a la nota final y tratar de pasar la nota, el profesor que un total mediocre para explicar no tenia ni idea de nada

espero les sea de alguna ayuda ya que para mi no fue por que igual perdi la materia por 2 vez::

Camilo Acosta

1)$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {{\sqrt[{2}]{x}}-2}{x-4}},&{\mbox{si }}x\neq 4\\{\frac {1}{4}},&{\mbox{si }}x=4\end{matrix}}\right.$ User:Camilo_Acosta 41 By Camilo_acosta

$F(x){\sqrt[{2}]{4-x^{2}}}$

$\lim _{x\rightarrow -2^{+}}F(x)=\lim _{x\rightarrow -2^{+}}{\sqrt[{2}]{4-x^{2}}}$

$\lim _{x\rightarrow -2^{+}}F(x)=0$

$\lim _{x\rightarrow -2^{+}}F(x)=F(-2)$

$\lim _{x\rightarrow -2^{-}}F(x)=\lim _{x\rightarrow -2^{-}}{\sqrt[{2}]{4-x^{2}}}$

$\lim _{x\rightarrow -2^{+}}F(x)=0$

$\lim _{x\rightarrow -2^{+}}F(x)=F(2)$

asimismo, F es continua por la derecha en -2 y es continua por la izquierda en 2. En efecto f es continua en el intervalo cerrado [-2,2]

by Camilo_Acosta

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2) by Camilo_Acosta

$\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {x^{2}-4}{x-2}}={\frac {(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2}$

$\lim _{x\rightarrow 2}{x+2}=4$

By camilo_acosta

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3) By camilo_Acosta

$\lim _{x\rightarrow 3}{\frac {x^{3}-21}{x^{2}-9}}={\frac {(x-3)(x^{2}+3x+9)}{(x-3)(x+3)}}={\frac {(x^{2}+3x+9)}{x+3}}$

$\lim _{x\rightarrow 3}{\frac {(x^{2}+3x+9)}{x+3}}={\frac {27}{6}}$

By Camilo_acosta

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4) By camilo_acosta

$\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {{\sqrt[{2}]{x}}-{\sqrt[{2}]{2}}}{x-2}}=inderterminado$

$\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {{\sqrt[{2}]{x}}-{\sqrt[{2}]{2}}}{x-2}}*{\frac {{\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{2}]{2}}}{{\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{2}]{2}}}}$

$\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {x-2}{(x-2)({\sqrt[{2}]{x}}+{\sqrt[{2}]{2}})}}$

$\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {1}{2{\sqrt[{2}]{x}}}}$

${\frac {2{\sqrt[{2}]{2}}}{4}}$

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5) by Camilo_Acosta

1. $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt[{2}]{9-x}}-3}{x}}=inderterminado$
2. $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt[{2}]{9-x}}-3}{x}}*{\frac {{\sqrt[{2}]{9-x}}+3}{x{{\sqrt[{2}]{9-x}}+3}}}$
3. $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {9+x-9}{x({\sqrt[{2}]{9-x}}+3)}}$
4. $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt[{2}]{9-x}}+3}}$
5. $\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1}{6}}$

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6) By Camilo_Acosta

1. $\lim _{x\rightarrow 5}{\frac {x^{2}-25}{x-5}}=inderterminado$
2. $\lim _{x\rightarrow 5}{\frac {x^{2}-25}{x-5}}*{\frac {(x-5)(x+5)}{x-5}}$
3. $\lim _{x\rightarrow 5}{x+5}$
4. $\lim _{x\rightarrow 5}10$

by Camilo_Acosta

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7) by Camilo_Acosta (nota: este límite da "límite cuando x tiende a 2 de raíz cuadrada de 7 entre 3"; se debe modificar el ejercicio para que de la indeterimnación... ¿No me creen?, pues prueben los valores de x=2 para que vean

1. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}=inderterminado$
2. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\sqrt[{2}]{\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}}$
3. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\sqrt[{2}]{\frac {\lim _{x\rightarrow 2}(x^{3}+2x+3)}{\lim _{x\rightarrow 2}(x^{2}+5)}}}$
4. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\sqrt[{2}]{\frac {\lim _{x\rightarrow 2}(x^{3})+\lim _{x\rightarrow 2}(2x)+\lim _{x\rightarrow 2}(3)}{\lim _{x\rightarrow 2}(x^{2})+\lim _{x\rightarrow 2}(5)}}}$
5. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\sqrt[{2}]{\frac {(\lim _{x\rightarrow 2}x)^{3}+\lim _{x\rightarrow 2}(2)*\lim _{x\rightarrow 2}(x)+\lim _{x\rightarrow 2}(3)}{(\lim _{x\rightarrow 2}x)^{2}+\lim _{x\rightarrow 2}(5)}}}$
6. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\sqrt[{2}]{\frac {2^{3}+2*2+3}{2^{2}+5}}}$
7. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\sqrt[{2}]{\frac {8+4+3}{9}}}$
8. $\lim _{x\rightarrow 2}{\sqrt[{2}]{\frac {x^{3}+2x+3}{x^{2}+5}}}={\frac {\sqrt[{2}]{15}}{3}}$

by Camilo_Acosta

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Maximos y Minimos

Encuentre los valores máximos y mínimos hayando a cada funcion su número crítico

$\ f(x)=2x^{3}-2x^{2}(2+x)$

$\ f'(x)=x^{3}-4x^{2}-8x(49x^{3}-2x^{2})$

$\ 0=5x^{3}(4x^{3}+8x^{2}-32x-5x)$

$\ 0=(5x+32x)^{2}-(8x-12)^{2}$

$\ f''(x)=(2x)^{2}+(4x^{2}+26)-54$

$\ f''(0)=12x^{2}-54x(45+2x^{2}-35+22)$

$\ f(x)=5x^{3}(-10x)^{2}+(4x-27)-2$

$\ f'(x)=-(3x^{2})+(-8x)^{4}$

$\ 0=(-3x^{3}-8x^{2}+4)+5x(-42)$

$\ 0=(-(-x-2)+(3x^{2}(-2)-(2x)$

$\ f''(x)=6x^{2}(-8)+(3x^{3}-25)$

$\ f'(x)=9x^{4}(-7x)^{2}+{(x)}^{2}$

$\ f'(x)=-x^{3}-54x(81)-(-x)-(12x)^{2}-8x)^{2})^{3})^{-}$

$\ 0=(x^{3})(-4x)^{6}-(+(-)9$

$\ 0=x^{7}+(4)^{(}4x^{2}-54)$

$\ x_{1}=5x-3x-^{2}(-(-x-2)+(3x^{2})+x-1)$

$\ x_{2}=x-3(-1(^{2}$ \sqrt[2]

$\ x^{2}=4$

$\ x^{3}={\frac {24}{4x}}$

$\ f''(x)=12x^{2}-54$

$\ f''(0)=12(0)^{2}-54$

$\ f''(0)=-12x(4)$ Máximo

3):$\ f(x)=-x^{3}x^{3}-4x^{3})(-4x)^{6}-9x^{2}+4x-1$

$\ f'(x)=x^{2}-(+)8x^{+}4$

$\ 0=(3)x^{2}-8-x^{4}-x+3-4^{x}(^{7})$

by Camilo_Acosta

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Problemas de razón de cambio

1) se suleta un globo en un punto a 150 pies de un observador, quien se encuentra al nivel del piso. si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8 pies por segundo,¿ qué tan rápido esta aumentando la distancia del observador al globo cuando el globo esta a 50 pies de altura?(supongase que el globo se suleta desde el nivel del piso)

solución sea t el número de segundos contados a partir de que se suelta el globo. sea h la altura del globo y s su distancia al observador. tanto h como s son variables que dependen de t; sin embargo, permanece sin cambio conforme t aumenta. obsevemos que al inicio, s casi no cambia (ds/dt=0), pero eventualmente s cambia casi tan rapido como cambia h (ds/dt=dh/dt=8). Una Estimaciónde ds/dt cuando h=50 podría ser alrededor de un tercio o e un medio de dh/dt, o 3. si obtenemos una respuest alejada de este valor, sabremos que hemos cometido un error. Por ejemplo, respuesta tales como 17 o aun 7, obviamente son incorrectas.

Para enfatizar, respondemos tres preguntas fundamentales

(a) ¿Qué esta dado?RESPUESTA dh/dt=8 (b) ¿Qué queremos conocer?RESPUESTA: queremos conocer ds/dt en el instante en que h=50 (c) ¿Como estan relacionadas s y h? las variables s y h cambian con el tiempo, pero siempre estan relacionadas por medio de la ecuación pitragórica --- Los puntos a y b estan en las orillas de un rio recto de 3 km de ancho y son opuestos uno del otro. El punto C esta en la misma orilla que b pero a "K" kilometros de "B" rio abaj. Una compaia telefonica desea tender un cable de "A" y "C" donde costo por kilometro de cable en tierra es de $10000 y el de cable subacuatico es de $ 12500.Sea p un punto en la misma orilla que B y C de modo que el cable se tienda de "A" a "P y luego a C.

a-) SI x kilometros es la distancia de B a P, obtenga una ecuacion que defina a C(x) si C(x) dolares es el costo total del cable tendido y establezca el dominio de c.

respuesta

La distancia de P a C es de (K-X9 kilometros y del teorema de pitagoras de a a p es ${\sqrt[{2}]{3^{2}+x^{2}}}$kilometros. por lo tanto 

$c(x)=12500{\sqrt[{2}]{3^{2}+x^{2}}}+10000(k-x)$ El dominio de C es [0, k]

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Un fabricante de cajas de carton quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares de carton con dimensiones de 10 pulg por 17 pulg, cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea determinar la longitud del lado de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen posible.

$v(x)=170x-54x^{2}+4x^{3}$

y el dominio de v es el intervalo cerrado [0.5] Como v es continua en [0.5]se sabe que el valor v tiene un valor maximo absoluto el cual ocurre en un numero critico o en un extremo del intervalo. para obtener los numeros criticos se calcula v'(x) = 0 o no existe

V'(x) = 170-108x+12^2

V'(x) existe para todos los valores de x. Al igualar V'(x) a cero y despejar x se tiene

2(6x^2-54x+85)=0

$v(x)={\frac {54+{\sqrt[{2}]{(-54)^{2}-4(6)(85)}}}{12}}$ De donde se obtiene x=6.27 y x=2.03.De modo que el unico valor critico de V en [0.5] es 2.03 como v(0)=0 y v(5)=0, mientras que V(2.03)=156.03, el valor absoluto de V ocurre cuando x=2.03

Conclusion El mayor volumen posible es 156.03 pulga^3 y se obtiene cuando la longitud sw loa lados de los cuadrados que se cortaran es de 2.03 pulg.

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Una escalera de 25 pie de longitud esta apoyada contra la pared vertical. La base de la escalera se jala horizontalmente alejandola de la pared a 3 pie/s. Suponga que se desea determinar que tan rapido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pies de la pared.

I: El numero de segundos del tiempo que ha transcurrido desde que la escalera comenzo a deslizarse hacia abajo sobre la pared .

X: El numero de pies de la distancia desde la base de la escalera a la pared a los 't' segundos

Y:El numero de pies de la distancia desde el piso a la parte superior de la escalera a los t segundos

Como la base de la escalera es jalada horizontalmente alejandola de la pared a 3/pies ${\frac {dx}{dt}}=3$

$Sedeseadeterminar<math>{\frac {dx}{dt}}cuandox=15$

Escriba una ecuacion que relacione a 'X','Y' y del teorema de pitagoras

y^2=625-x^2

Se deriva con respecto a t

$2y{\frac {dx}{dt}}=-2x{\frac {dx}{dt}}$ ${\frac {dx}{dt}}={\frac {-}{x}}{y}.{\frac {-}{dx}}{dy}$

sustituya los valores conocidos de x,y y y ${\frac {dx}{dt}}$ en la ecuacion anterior para $2y{\frac {dy}{dt}}$

Cuando x=15 de (1) y= 20 . como ${\frac {dx}{dt}}=3$ se obtiene de (2) ${\frac {dx}{dt}}={\frac {-}{15}}{20}.3$ ${\frac {-}{9}}{4}$

el signo indica que decrece conforme t aumenta

La parte superior de la escalera se desliza hacia abajo sobre la pared a la tasa de 2.25 pies/s cuando la base esta a 15 pie de la pared

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Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2m^3 hacia el interior de un deposito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio ¿que tab rapido sube el nivel del agua cuando esta ha alcanzado 5 m de profundidad?

t:El numero de minutos del tiempo que ha trascurrido desde que el agua comenzo a fluir dentro del tanque

h:El numero de metros de altura del nivel del agua a los t minutos

r:el numero de metros del radio de la superficie del agua a los t minutos

v:el numero de metros cubicos del volumen de agua en el tanque a los t minutos. observe que v , r y h son funciones de t

puesto que el agua fluye dentro del tanque a una tasa de 2 m^3/min

entonces ${\frac {dv}{dt}}=2$

se desea determinar ${\frac {dh}{dt}}cuandoh=5$

en cualquier tiempo el volumen del agua en el tanque puede expresarse como el volumen de un cono

$v={\frac {1}{3}}pi*r^{2}h$

Se conoce ${\frac {dv}{dt}}$y se desea determinar </math>\frac{dh}{dy} por lo tanto se nesesita una ecuacion que involucre a V y h. Asi primero se expresa r en terminos de h.

${\frac {r}{h}}pi({\frac {4}{16}})^{2}(h)=v={\frac {1}{48}}pih^{3}$

Al diferenciar los dos miembros de esta ecuacion con respecto a t ${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{16}}pih^{2}(h).{\frac {dh}{dt}}$

ahora se sustituye 2 por ${\frac {dv}{dt}}{\frac {dh}{dt}}$y se resuelve la ecuacion para

${\frac {dh}{dt}}={\frac {32}{pih^{2}}}$

asi,

${\frac {dh}{dt}}={\frac {32}{25pi}}$

al convertir metros a centimetros se tiene=0.4074 m/min=40.74 cm/min.

El nivel del agua sube a una tasa de 40.74 cm/min cuando el agua ha alcanza una profundidad de 5 m.

Defina pi=π

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Dos automoviles, uno va hacia el este a una tas a de 90 km/h, y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la interseccion de os carreteras. ¿a que tasa se estan aproximando uno al otro en el instante en que el primer automovil esta 0.2 km de la interseccion y el segundo se encuentra a 0.15 km de dicha interseccion?

t: el numero de horas del tiempo que ha trascurrido desde que los automoviles empezaron a aproximarse a p.

x:el numero de kilometros de la distancia a partir del primer automovil a p a las t horas

y:el numero de kilometros de la distancia a partir del segundo automovil a p a las t horas

z:el numero de kilometros de la distancia entre los dos automoviles a la t horas

Como el primer carro se acerca a p a una tasa de variacion de - km/h90 y x esta decreciendo conforme t crece, entonces ${\frac {dx}{dt}}=-90$ de la misma manera ${\frac {dy}{dt}}=-60$

Se desea determinar ${\frac {dz}{dt}}$ cuando x=0.2 y y=0.15

Del teorema de pitagoras

$z^{2}=x^{2}+y^{2}$

al diferenciar los dos miembros de (4) con respecto a t, se obtiene $2z{\frac {dz}{dt}}=2x{\frac {dx}{dt}}+2y{\frac {dy}{dt}}$

${\frac {dz}{dt}}={\frac {x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}}{z}}$

Cuando x=0.2 y y=0.15 de (4) se tiene que z=0.25 en (5) se sustituyen${\frac {dx}{dt}}por-90${dy}{dt}</math> por -60, x por 0.2 y por 0.15 y z por 0.25 para obtener

=-108

En el instante en cuestion, los carros se aproximan uno al otro a una tasa de 108 km\h

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Suponga que en cierto mercado, x miles de canastillas se surten diariamente cuando p dolares es el precio por la canastilla. La ecuacion de oferta es

p(x)-20p-3x+105=0

Si el suministro diario decrece a una tasa de 250 canastillas por dia,¿a que tasa esta variando el precio cuando la oferta diaria la oferta diaria es de 5000 canastillas?

Sea t dias el tiempo que ha transcurrido desde que el simnistro diario empezo a decrecer

la variable p y x estan definidas como funciones de t en el enunciado del problema .

debido a que el suministro diario esta decreciendo a una tasa de cambio de 250 canastillas por dia,entonces ${\frac {dx}{dt}}=-{\frac {250}{1000}}$ , ${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1}{4}}$ Se desea determinar ${\frac {dp}{dt}}$ Cuando x=5 De la ecuacion de oferta dada, al diferenciar implicitamente con respecto a t se obtiene

$p{\frac {dx}{dt}}+x{\frac {dp}{dt}}-3{\frac {dx}{dt}}=0$

${\frac {dp}{dt}}={\frac {3-p}{x-20}}.{\frac {dx}{dt}}$

Cuando x=5, se deduce de la ecuacion de oferta que p=6

Debido a que ${\frac {dx}{dt}}={\frac {-}{1}}{4}$ Se tiene la ecuacion anterior

${\frac {3-6}{5-20}}*{\frac {-1}{4}}$ ${\frac {-1}{20}}$

El precio de la canastilla de naranjas esta decreciendo a la tada de $0.05 por dia cuando la oferta diaria es de 5000 canastaillas.

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Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad de 500/pies a una altura de 4000 pie y un rayo de luz de un faro de rastreo ubicado en tierra, incide en la parte inferior del avion. Si la luz se mantiene sobre el avion ¿que tan rapido gira el rayo de luz cuando el avion se encuentra a una distancia horizontal de 2000 pies al este del faro.

t: segundos el tiempo que transcurre desde que la luz del faro incidio en el avion x:el numero de pies hacia el este de la distacia horizontal del avion des de el faro a los t segundos

Rad:el numero de radianes del angulo de elevacion del avion desde el faro a los t segundos

puesto que ${\frac {dx}{dt}}=-500$ y como se desea determinar ${\frac {drad}{dt}}$ cuando x=2000,se considera $tanrad={\frac {4000}{4}}$ al diferenciar los dos miembros de esta ecuacion con respectp a t se obtiene $sec^{2}rad={\frac {4000}{x^{2}}}*{\frac {dx}{dt}}$ Si se sustituye ${\frac {dx}{dt}}*-500$en la ecuacion anterior y al dividir entre $sec^{2}rad$ Se tiene

${\frac {drad}{dt}}={\frac {2000000}{x^{2}sec^{2}rad}}$ ${\frac {drad}{dt}}={\frac {1}{10}}$

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Problemas de maximos y minimos

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Sea la funcion definida ${\frac {x}{1-x^{2}}}$ no tiene valor absoluto ni valor minimo absoluto en el intervalo (-1,1)

$\lim _{x\rightarrow -1^{+}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\rightarrow -1^{-}}f(x)=+\infty$

File:Grafica13.bmp

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La funcion definida por $f(x)={\frac {1}{x-3}}notienevalromaximoabsolutonivalorminimoabsolutoen[2,4].Como<math>\lim _{x\rightarrow 3^{-}}f(x)=-\infty$F(x) puede hacerse menor que cualquier numero negativo tomando 3-x>o y menor que cualquier numero positivo tomando x-3>0 y menor que una

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Suponga que f es la funcion definida por $f(x)=2x$ la grafica de f en el intervalo [1,4) esta funcion tiene un valor minimo absoluto de 2 en [1,4).No existe un valor maximo absoluto de f en [1,4) por que $\lim _{x\rightarrow 4^{-}}f(x)=8$, pero f(x)siempre es menor que 8 en el intervalo dado File:Grafica11.bmp

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La siguiente funcion f definida $F(x)=-x^{2}$ La grafica de f en el intervalo (-3,2]. Esta funcion tiene valor maximo absoluto de 0 en (-3,2]. No existe un valor absoluto de f en (-3,2] debido a que $\lim _{x\rightarrow 3^{+}}f(x)=9$pero F(x) siempre es mayor que -9 en el intervalo dado. File:Grafica12.bmp

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File:Grafica6.bmp

Sea f la funcion definida por $f(x)=x^{2}-4x+5$

entonces $f=2x-4x$

Como$f'(2)=0$ f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f(2)=1 y 1<f(x) cuando x<2 o x>2

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Considere la funcion f definida por

$f(x)=(x-1)^{3}+2$

Entonces $f'(x)=3(x-1)^{2}$ f'(1)=0, f puede tener un extremo relativo en 1 pero como f(1)=2y 2 >f(x) cuando x<1 y 2<f(x) cuando x>1 de modo que f no tiene un extremo relativo. la grafica de esta funcion tiene un recta tangente horizontal en el punto (1,2), lo cual es consistente con el echo de que la derivada sea cero en ese punto. File:Grafica7.bmp

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Sea f la funcion definida por $f(x)=\left\{{\begin{matrix}2x-1,&{\mbox{si }}x<4\\8-x&{\mbox{si }}3<x\end{matrix}}\right.$

tiene un valor relativo en 3, la derivada por la izquierda en 3 esta dada por f'+(3)=-1 por lo tanto, se concluye que f'(3) no existe.

Es posible que una funcion pueda estar definida en un numero c donde f'(c) no exista y sin embargo, f'(c) no exista y sin embargo f no tenga un extremo relativo en ese numero. File:Grafica8.bmp

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Sea la funcion

$F(x)=x^{\frac {1}{3}}$ El dominio de f es el conjunto de todos lo numeros reales, y su derivada

$f'(x)={\frac {1}{3x^{\frac {2}{3}}}}$

Ademas f'(0) no existe, la funcion no tiene extremos relativos. en resumen si na funcion f esta definida en un numero c, una condicion necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que f'(c)=0 o que f'(c) no exista.Tenga en cuenta que esta condicion es nesesaria pero no suficiente File:Grafica9.bmp

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PUNTOS CRITICOS

Sea la funcion definida por $f(x)=x^{4}+4x^{3}-2x^{2}-12x$

Estime los numeros criticos

Como F'(x) es un polinomio f'(x) existe en todo numero. Por lo tanto los unicos criticos son aquellos valores de x para los que f'(x)=0 esto es, las coordenadas x de los puntos de la grafica de f para los que la recta tangente es horizontal.

Se calculaF'(x) se iguala a cero y se despeja x.

$4x^{3}+12^{2}-4x-12=0$

$x^{3}+3x^{2}-x-3=0$

$x^{2}(x+3)-(x+3)=0$

$(x+3)(x^{2}-1)=0$

$x+3=0$

$x=-3$

$x^{2}-1=0$

$x^{2}=1$

$x=\pm 1$

De este modo se ha confirmado que los numeros critivos son -3 , -1 y 1 File:Grafica10.bmp

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Determine los numeros criticos de la funcion definida por

$f(x)=x^{\frac {4}{3}}+4x^{\frac {1}{3}}$

$f'(x)={\frac {4}{3}}x^{\frac {-2}{3}}*(x+1)$

$f'(x)={\frac {4(x+1)}{3x^{\frac {2}{3}}}}$

Cuando x=-1 f'(x) =0 y cuando F'(x) no existe. Tanto -1 como 0 estan en el dominio de f por los numeros crticos de f son -1 y 0

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DERIVADAS

$(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)$

$(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)=(3x^{2}-5)Dx(2x^{4}-x)+(2x^{4}-x)Dx(3x^{2}-5)$

$(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)=(3x^{2}-5)(8x^{3}-1)+(2x^{4}-x)(6x)$

$(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)=(24x^{5}-3x^{2}-40x^{3}+5+12x^{5}-6x^{2}$

$(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)=(36x^{5}-40x^{3}-9x^{2}+5$

para verificar multiplicamos y luego tomamos la derivada $(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)=6x^{6}-10x^{4}-3x^{3}+5x$ Asi

$Dx[(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)]=Dx(6x^{6})-Dx(10x^{4})-Dx(3x^{3})+Dx(5x)$

$Dx[(3x^{2}-5)(2x^{4}-x)]=36x^{5}-40x^{3}-9x^{2}+5$

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Ecuentre las derivadas de :$5x^{2}+7x-6y4x^{6}-3x^{5}-10x^{2}+5x+16$

$Dx(5x^{2}+7x-6)=Dx(5x2+7)-Dx(6)$

$Dx(5x^{2}+7x-6)=Dx(5x2)+Dx(7x)-Dx(6)$

$Dx(5x^{2}+7x-6)=5Dx(x2)+7Dx(x)-Dx(6)$

$Dx(5x^{2}+7x-6)=5*2x+7*1+0$

$Dx(5x^{2}+7x-6)=10x+7$

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si :$y=sen(x^{3}-3x)$,encuentre Dxy podemos escribir y=sen u y u^3-3x

$Dxy=Duy*Dxu$

$Dxy=(cosu)*(3x^{2}-3)$

$Dxy=[cos(x^{3}-3x)]*(3x^{2}-3)$

$Dxy=(3x^{2}-3)cos(x^{3}-3x)$

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Encuentre Dt

$({\frac {t^{3}-2t+1}{t^{4}+3}})^{1}3$

$y=u^{1}3$

$u={\frac {t^{3}-2t+1}{t^{4}+3}}$

$Dty=Duy*Dtu$

$Dty=13u^{1}2{\frac {(t^{4}+3)(3t^{2}-2)-(t^{3}-2t+1)}{(t^{4}+3)^{2}}}$

$Dty=13({\frac {t^{3}-2t+1}{t^{4}+3}})^{1}2*{\frac {-t^{6}+6t^{4}-4t^{3}+9t^{2}-6}{(t^{4}+3)^{2}}}$

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Encuentre :${\frac {dy}{dx}}$, :$siy=x^{3}-3x^{2}+7x$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}(x^{3}-3x^{2}+7x)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d(x^{3})}{dx}}-3{\frac {d(x^{2})}{dx}}+7{\frac {d(x)}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}=3x^{2}-3(2x)+7(1)$

${\frac {dy}{dx}}=3x^{2}-6x+7$

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RECTA TANGENTE

Ecuentre una ecuacion de la recta tangente a la parabola $y=x^{2}-1$ en el punto (2,3)

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(2+h)^{2}-1)-f(x)}{h}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(2+h)^{2}-1)-3}{h}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(2+h)^{2}-4}{h}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {4+4h+h^{2}-4}{h}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {8h+h^{2}}{(h)^{2}}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h(8+h)^{2}}{h}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2})-f(x)}{(h)^{2}}}=\lim _{h\rightarrow 0}(8+h)$

by Camilo_Acosta

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PROBLEMAS CON GRAFICAS

File:Dibujo.bmp

$f(x)={\frac {1}{x-2}}$ Al grafica mostrada se rompe en el punto deonde x=2 por lo que se investigaran las condiciones

1 F(2) no esta definida

Como no se satisface la condicion anterior se sabe que es discontinua en ese punto esto se determina como discontinuidad esencial por que $\lim _{x\rightarrow 2}f(x)$ no existe.

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File:Dibujo2graficas.bmp

Sea la funcion en la grafica Donde es discontinua en 4, el cual pertenece al intervalo cerrado [2,5] g(2)=-1 y g(5)=2. Si k es cualquier numero entre -1 y 2 no hay ningun valor de c entre 2 y 5 tal que g(c)=k. En particular, si k=1, entonces g(6)=1, pero no pertenece al intervalo (2,5)

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Determine la asintota vertical de la grafica definida por $f(x)={\frac {3}{x-3}}$

ahora determinamos los limites de la funcion

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}=\infty$

$\lim _{x\rightarrow 3^{-}}=-\infty$

Se concluye que la recta x=3 es una asintota vertical de la grafica de f. La grafica de f concluye la respuesta

File:Grafica3.bmp

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Sea la siguiente funcion

$f(x)={\frac {x^{2}+x+2}{x^{2}-2x-3}}$

Determine a):$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}$ b):$\lim _{x\rightarrow 3^{-}}$ c)grafique

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}{\frac {x^{2}+x+2}{x^{2}-2x-3}}=\lim _{x\rightarrow 3^{+}}{\frac {x^{2}+x+2}{(x-3)(x-1)}}$

El limite del numerador es de 14, lo cual puede verificarse facilmente

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}(x-3)(x-1)=\lim _{x\rightarrow 3^{+}}(x-3)*\lim _{x\rightarrow 3^{+}}(x+1)$

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}(x-3)(x-1)=0*4$

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}(x-3)(x-1)=0$

El limite del denominador es 0 y el denominador se aproxima a 0 mediante valores positivos.

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}{\frac {x^{2}+x+2}{x^{2}-2x-3}}=\infty$

B)

$\lim _{x\rightarrow 3^{-}}{\frac {x^{2}+x+2}{(x-1)(x+1)}}=\lim _{x\rightarrow 3^{-}}{\frac {x^{2}+x+2}{(x-1)(x+1)}}$

En este caso, el limite del denominador es cero, pero el denominador se aproxima a cero por medio de valores negativos

$\lim _{x\rightarrow 3^{+}}{\frac {x^{2}+x+2}{x^{2}-2x-3}}=-\infty$

c) File:Grafica4.bmp

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$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{x-2}},&{\mbox{si }}x\neq 2\\3,&{\mbox{si }}x=2\end{matrix}}\right.$

Se investigan las condiciones

1)g(2)=3 2):$\lim _{x\rightarrow 2^{-}}=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}{\frac {1}{x-2}}$

$\lim _{x\rightarrow 2^{-}}=-\infty$

$\lim _{x\rightarrow 2^{-}}=\lim _{x\rightarrow 2^{-}}{\frac {1}{x-2}}$

$\lim _{x\rightarrow 2^{-}}=\infty$

$\lim _{x\rightarrow 2}g(x)$ no existe.

File:Grafica5.bmp