[[Datei:Parallelepiped-v.svg|mini|hochkant=1.4|Ein Parallelepiped wird von 3 Vektoren erzeugt.]]
Stellt man diese 3 an einer Ecke zusammentreffende Kanten als Vektoren
dar, so ergibt sich das Volumen des Parallelepipeds aus dem Betrag des Spatproduktes (gemischtes Skalarprodukt und Kreuzprodukt). Das Volumen
ist das Produkt der Grundfläche
(Parallelogramm) und der Höhe
des Parallelepipeds. Mit
, wobei
der Winkel zwischen
und
ist, und der Höhe
, wobei
der Winkel zwischen
und dem Normalenvektor auf der Grundfläche ist, ergibt sich
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=G\cdot h=(|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin(\gamma ))\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\cdot |{\vec {c}}|\cdot |\cos(\theta )|\\&=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb405a036287b6d0a15af5cbd076805924b0f1c2)
Das gemischte Produkt nennt man Spatprodukt. Es kann als Determinante geschrieben werden. Für
ist das Volumen dann:
![{\displaystyle V=\left|\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}\;\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883c8dda96169a71e856f7b265b19e21c66480b5)
Eine nur von den geometrischen Eigenschaften (Kantenlängen, Winkel zwischen benachbarten Kanten) abhängige Formel für das Volumen ist:
![{\displaystyle V=a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323c5e18b3f0fdc0553be53da51efd3d9a693cc6)
Dabei sind
die Winkel zwischen den Kanten und
die Kantenlängen.
Der Nachweis dieser Formel lässt sich mit den Eigenschaften einer Determinante und der geometrischen Deutung des Skalarprodukts führen. Es sei
die 3x3-Matrix, deren Spaltenvektoren die Vektoren
sind. Dann gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=(\det(M))^{2}=\det(M)\cdot \det(M)=\det(M^{T})\cdot \det(M)=\det(M^{T}\cdot M)\\&=\det {\begin{pmatrix}{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}&{\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\end{pmatrix}}=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}\cdot (1+2\cdot \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma ))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e155897a3f650bd2580d06d7de3f14281aae05)
Im letzten Schritt wurden die Gleichungen
benutzt.
[[Datei:Parallelepipednetz.svg|mini|hochkant=1.4|Körpernetz eines Parallelepipeds]]
Der Flächeninhalt der Oberfläche ergibt sich aus der Summe der Flächeninhalte der einzelnen Seitenflächen, den 6 Parallelogrammen:
.
In der Ecke, in der die Vektoren
zusammentreffen, liegen die Innenwinkel
. Diese Ecke bildet zusammen mit den 3 benachbarten Ecken ein Tetraeder. Betrachtet man die Umkugel dieses Tetraeders, dann gilt nach dem Kosinussatz für Kugeldreiecke die Gleichung
![{\displaystyle \cos(\alpha )=\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )+\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )\cdot \cos(\beta _{a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfd0027cf3ae7ddbc7a6dcce1a45faa23361a4f)
Dabei ist
der Flächenwinkel zwischen den beiden Seitenflächen, die am Vektor
liegen.
Daraus folgt
![{\displaystyle \beta _{a}=\arccos \left({\frac {\cos(\alpha )-\cos(\beta )\cdot \cos(\gamma )}{\sin(\beta )\cdot \sin(\gamma )}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4de4fa1ccd9696a2754b65f4dc50a059113605)
Die Flächenwinkel
und
ergeben sich entsprechend.
Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.[1]
Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln
liegt, gilt
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6e1f8c0896fcada43c579a0551df0c57936bab)
wobei
,
,
und
ist.
Zwei diagonal gegenüber liegende Raumwinkel in Ecken des Parallelepipeds sind jeweils gleich, weil die 3 anliegenden Innenwinkel gleich sind. Die anderen drei Raumwinkel ergeben sich für
![{\displaystyle \theta _{a}=\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6797c3ae816c53300079b12cab2a1f90ec9b6f6f)
![{\displaystyle \theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=\beta ,\quad \theta _{c}=180^{\circ }-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aaaf84b4c9dda4446e050523b014bf897273398)
![{\displaystyle \theta _{a}=180^{\circ }-\alpha ,\quad \theta _{b}=180^{\circ }-\beta ,\quad \theta _{c}=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5a5d8a8d77e96848c9157183acd08d1b810134)
- ↑ Wolfram MathWorld: Spherical Excess