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解一元二次方程式

數位媒體融入教學(試教篇)

在本學期的「數學教材教法」課程中，我選擇國中課程的「解一元二次方程式」單元來試教。所以在本課程－－數位學習，我就思考是否可以利用數位媒體來輔助教學。

這學期我選擇探討WikiBooks，所以決定利用它來呈現這個單元。以下是我的編輯。

指導語

解一元二次方程式並不難，訣竅是觀察方程式的模樣，或是利用方程式的性質及概念來解出。

一元二次方程式

一元二次方程式是帶有一個未知數－－通常用 x 來表示－－且最大次方為 2 的方程式，我們可以用 ax²+bx+c=0 來表示，其中a、b、c為實數。

完全平方式

若某一元二次方程式是完全平方式，則它可以化成一元一次方程式的完全平方。

也就是 a(x+b)²。

如何展開一元一次方程式的完全平方？

(x+b)²=(x+b)(x+b)=x²+2bx+b²

解一元二次方程式方法(一)

若方程式是 x²+2bx+b²=0 的形式，或是此形式的實數倍，都可以利用完全平方式的概念來求解。

其解為-b，因為 (x+b)²=0 的解，就是要讓 x+b=0 使 (x+b)²=(0)²=0。

• 例題(1): 2x²+8x+8=0

詳解:

我們先提出首項係數 2 ，使方程式變成：

2(x²+4x+4)=0

我們可以發現()內的多項式是 x+2 的完全平方式，所以：

2(x²+4x+4)=0

→ 2(x+2)²=0

→ (x+2)²=0 (即 = 左右邊同除以 2)

→ x=-2

配方法

我們已知 (x+b)² 可以展開成 x²+2bx+b² ，可以發現常數項為 x 一次項係數的一半再平方。

所以我們得知，欲構成完全平方式必須補上 x 項係數的一半再平方。

若給題為完全平方式，可以直接找 x 的解，但是若題目為非完全平方式，則須利用完全平方的概念來解題。

其方法有二：配方法與公式解。

解一元二次方程式方法(二): 配方法

我們簡單將配方法分解為四個步驟：

• 步驟一：常數項移到等號右邊。
• 步驟二：方程式同除以首項係數。
• 步驟三：補項使其成為完全平方式。
• 步驟四：解 x 。

註：不一定要照著這四步走，學生可以根據原理，發展自己的解題步驟。

• 例題(2): $2x^{2}-4x+1=0$

詳解：

步驟一：$2x^{2}-4x=-1$

步驟二：$x^{2}-2x=-{\frac {1}{2}}$

步驟三：$x^{2}-2x+1=-{\frac {1}{2}}+1={\frac {1}{2}}$

步驟四：$(x-1)^{2}={\frac {1}{2}}$ → $x-1=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ → $x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

公式解

在數字簡單的方程式下，用配方法可以快速的解出 x 的值，但是在數字複雜的方程式下，由於步驟繁多而錯誤率提高。

所以有另一種方法，可以更快的求出 x 的值，我們稱之為公式解。

解一元二次方程式方法(三)：公式解

公式解的原理是利用配方法解方程式 ax²+bx+c=0 ，其中 a 不為 0 。

其推導的過程如下：

1.$ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

2.$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0$

3.$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+{\frac {c}{a}}=0\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

4.$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\Rightarrow x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}$

5.$x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}\Rightarrow (x+{\frac {b}{2a}})^{2}=\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

6.$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\Rightarrow x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

7.$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

這個複雜的式子$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$就稱作公式解。

只要知道 a、b、c ，我們就可以求出 x 的解。

• 例題(3): $2x^{2}-4x+1=0$

詳解：

a=2

b=-4

c=1

套用公式解得知：

$x={\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 1}}}{2\cdot 2}}$

$x={\frac {4\pm {\sqrt {16-8}}}{4}}$

$x={\frac {4\pm 2{\sqrt {2}}}{4}}$

$x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$

判別式

經由觀察我們可以發現，在公式解的式子中，$b^{2}-4ac$扮演了很重要的角色。因為它決定了 x 解的個數。

若$b^{2}-4ac$為正數，則 x 恰有兩解。

若$b^{2}-4ac$為 0 ，則 x 恰有一解。

若$b^{2}-4ac$為負數，則 x 無解。

所以，我們提出了判別式的概念。

判別式

因為$b^{2}-4ac$非常重要，於是我們為它取名為判別式。旨在判別 x 的解的個數。

如果將其延伸到幾何意義上，可以表示為一元二次函數的圖形與 x 軸的交點個數，這我們將在未來的課程中深入探討。

在方程式的意義上，我們只考慮如同上面的敘述：

• 當$b^{2}-4ac$為正數，則 x 有兩相異實根。

• 當$b^{2}-4ac$為 0 ，則 x 恰有一實根。

• 當$b^{2}-4ac$為負數，則 x 無實數解。

註：何謂無實數解？就是在實數中，找不到此方程式的解。但是在虛數中，我們可以找到，這也是未來的課程將會提及的領域。